Le produit en croix, aussi appelé règle de trois, est probablement l’outil mathématique le plus utile de la vie quotidienne. Il permet de trouver une valeur inconnue dès que deux grandeurs sont proportionnelles. Voici comment il fonctionne, pourquoi il marche, et comment l’appliquer sans se tromper.
Le principe : la proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre. Si 1 kg de tomates coûte 3 €, alors 2 kg coûtent 6 € et 5 kg coûtent 15 € : on multiplie toujours le poids par 3. Ce nombre constant s’appelle le coefficient de proportionnalité.
La méthode en trois étapes
- Construire un tableau avec deux colonnes, une pour chaque grandeur, et placer les trois valeurs connues.
- Multiplier en diagonale les deux valeurs qui se font face.
- Diviser le résultat par la troisième valeur.
Une voiture consomme 6 litres pour 100 km. Combien consomme-t-elle pour 350 km ?
100 km → 6 L
350 km → X
X = 6 × 350 ÷ 100 = 21 litres
Pourquoi ça marche ?
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux. Avec les valeurs a et b sur une ligne, c et d sur l’autre, on a toujours a × d = b × c. Si d est inconnu, il suffit d’isoler : d = b × c ÷ a. C’est exactement le calcul de la règle de trois.
Exemples de la vie quotidienne
Adapter une recette
Une recette de crêpes pour 4 personnes demande 250 g de farine. Pour 6 personnes : 250 × 6 ÷ 4 = 375 g.
Convertir une monnaie
Si 1 € vaut 1,08 $, combien valent 75 € ? 75 × 1,08 ÷ 1 = 81 $.
Ramener une note sur 20
Un élève obtient 34 sur 40. Sur 20, cela donne 34 × 20 ÷ 40 = 17.
Calculer un pourcentage
Sur 80 personnes interrogées, 52 répondent oui. Quel pourcentage ? 52 × 100 ÷ 80 = 65 %.
Attention à la proportionnalité inverse
Le produit en croix classique ne fonctionne que si les grandeurs augmentent ensemble. Lorsque l’une augmente pendant que l’autre diminue, la proportionnalité est inverse. Exemple : 3 ouvriers construisent un mur en 8 jours. Combien de jours pour 6 ouvriers ? Ce n’est pas 16 jours, mais 3 × 8 ÷ 6 = 4 jours. Dans ce cas, on multiplie les valeurs d’une même ligne puis on divise par la nouvelle valeur.
Les situations qui ne sont pas proportionnelles
Certaines situations ressemblent à de la proportionnalité mais n’en sont pas. Le prix d’un taxi comprend une prise en charge fixe : 10 km ne coûtent pas exactement le double de 5 km. De même, l’âge et la taille d’un enfant ne sont pas proportionnels. Avant d’appliquer la règle de trois, vérifiez toujours que doubler une valeur double bien l’autre.
Vérifier son résultat
Un bon réflexe consiste à estimer l’ordre de grandeur avant de calculer. Si 350 km font un peu plus de trois fois 100 km, la consommation doit être un peu plus de trois fois 6 litres, soit environ 20 litres. Le résultat de 21 litres est donc cohérent.
Pour gagner du temps, notre calculatrice de règle de trois gère les deux cas, direct et inverse, et affiche le détail du calcul.